<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Contents: Math typesetting with LaTeX
% $Id: math.tex,v 1.2 2003/03/19 20:57:46 oetiker Exp $
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Soáº¡n tháº£o cÃ¡c cÃ´ng thá»©c toÃ¡n há»c}
\begin{intro}
BÃ¢y giá» báº¡n Ä‘Ã£ sáºµn sÃ&nbsp;ng! Trong chÆ°Æ¡ng nÃ&nbsp;y báº¡n sáº½ bá»‹ ``hÃºt há»“n'' vá»›i tÃ­nh nÄƒng ``siÃªu viá»‡t'' cá»§a \TeX{}: soáº¡n tháº£o tÃ&nbsp;i liá»‡u ToÃ¡n há»c. Tuy nhiÃªn, chÆ°Æ¡ng nÃ&nbsp;y chá»‰ cung cáº¥p cho báº¡n nhá»¯ng kiáº¿n thá»©c cÆ¡ báº£n nháº¥t. Äá»‘i vá»›i má»™t sá»‘ ngÆ°á»i dÃ¹ng thÃ¬ nhá»¯ng kiáº¿n thá»©c á»Ÿ Ä‘Ã¢y sáº½ khÃ´ng Ä‘á»§ Ä‘á»ƒ soáº¡n tháº£o cÃ¡c cÃ´ng thá»©c toÃ¡n phá»©c táº¡p nhÆ°ng Ä‘á»«ng náº£n chÃ­ bá»Ÿi vÃ¬ báº¡n cÃ³ thá»ƒ tham kháº£o thÃªm trong \AmS-\LaTeX{}%
  \footnote{The \emph{American Mathematical Society} Ä‘Ã£ Ä‘Æ°a ra nhá»¯ng gÃ³i má»Ÿ rá»™ng ráº¥t máº¡nh cho \LaTeX{}. Ráº¥t nhiá»u vÃ­ dá»¥ trong pháº§n nÃ&nbsp;y sá»­ dá»¥ng Ä‘áº¿n cÃ¡c pháº§n má»Ÿ rá»™ng Ä‘Ã³. Táº¥t cáº£ cÃ¡c pháº§n má»Ÿ rá»™ng nÃ&nbsp;y Ä‘á»u Ä‘Æ°á»£c cung cáº¥p kÃ¨m vá»›i cÃ¡c phiÃªn báº£n \TeX{}. NgoÃ&nbsp;i ra báº¡n cÃ³ thá»ƒ táº£i vá» á»Ÿ Ä‘á»‹a chá»‰ \texttt{CTAN:/tex-archive/macros/latex/required/amslatex}.}.
\end{intro}

\section{Tá»•ng quan}
\LaTeX{} Ä‘á»‹nh nghÄ©a má»™t cháº¿ Ä‘á»™ Ä‘áº·c biá»‡t Ä‘á»ƒ soáº¡n tháº£o cÃ¡c \wi{cÃ´ng thá»©c toÃ¡n há»c}. CÃ¡c cÃ´ng thá»©c toÃ¡n nÃ&nbsp;y cÃ³ thá»ƒ Ä‘Æ°á»£c Ä‘Æ°a vÃ&nbsp;o ngay trong mÃ´i trÆ°á»ng vÄƒn báº£n hay ta cÃ³ thá»ƒ tÃ¡ch rá»i chÃºng khá»i cÃ¡c Ä‘oáº¡n vÄƒn. Pháº§n ná»™i dung \emph{toÃ¡n há»c}  \emph{trong} Ä‘oáº¡n vÄƒn cÃ³ thá»ƒ Ä‘Æ°á»£c soáº¡n tháº£o á»Ÿ giá»¯a dáº¥u \ci{(} vÃ&nbsp; \ci{)} hay \texttt{\$} vÃ&nbsp; \texttt{\$}, hay \verb|\begin{|\ei{math}\verb|}| vÃ&nbsp; \verb|\end{math}|.\index{formulae}
\begin{example}
Cá»™ng $a$ bÃ¬nh phÆ°Æ¡ng
vá»›i $b$ bÃ¬nh phÆ°Æ¡ng
Ä‘Æ°á»£c $c$ bÃ¬nh phÆ°Æ¡ng. Ta
cÃ³ thá»ƒ viáº¿t dÆ°á»›i dáº¡ng
cÃ´ng thá»©c lÃ&nbsp;: $c^{2} = a^{2}+b^{2}$
\end{example}

\begin{example}
\TeX{} Ä‘Æ°á»£c phÃ¡t Ã¢m lÃ&nbsp;
\(\tau\epsilon\chi\).\\[6pt]
100~m$^{3}$ nÆ°á»›c.\\[6pt]
TÃ¬nh yÃªu xuáº¥t phÃ¡t tá»«
\begin{math}
\heartsuit
\end{math}.
\end{example}

Náº¿u muá»‘n biÃªn soáº¡n cÃ¡c cÃ´ng thá»©c, phÆ°Æ¡ng trÃ¬nh lá»›n tÃ¡ch rá»i khá»i Ä‘oáº¡n vÄƒn báº£n, báº¡n cÃ³ thá»ƒ biÃªn soáº¡n chÃºng trong cáº·p ngoáº·c \ci{[} vÃ&nbsp; \ci{]} hay giá»¯a \verb|\begin{|\ei{displaymath}\verb|}| vÃ&nbsp; \verb|\end{displaymath}| mÃ&nbsp; khÃ´ng pháº£i ngáº¯t Ä‘oáº¡n vÄƒn Ä‘ang soáº¡n tháº£o ra lÃ&nbsp;m nhiá»u pháº§n.

\begin{example}
Cá»™ng $a$ bÃ¬nh phÆ°Æ¡ng vá»›i
$b$ bÃ¬nh phÆ°Æ¡ng Ä‘Æ°á»£c $c$
bÃ¬nh phÆ°Æ¡ng. Ta
cÃ³ thá»ƒ viáº¿t láº¡i dÆ°á»›i dáº¡ng
cÃ´ng thá»©c lÃ&nbsp;:
\begin{displaymath}
c^{2}=a^{2}+b^{2}
\end{displaymath}
Hay ta cÃ³ thá»ƒ viáº¿t: \[c=a+b\]
\end{example}
MÃ´i trÆ°á»ng \ei{equation} sáº½ giÃºp báº¡n Ä‘Ã¡nh sá»‘ cÃ¡c phÆ°Æ¡ng trÃ¬nh. BÃªn cáº¡nh Ä‘Ã³ báº¡n cÃ³ thá»ƒ Ä‘Ã¡nh dáº¥u phÆ°Æ¡ng trÃ¬nh vá»›i lá»‡nh \ci{label} vÃ&nbsp; tham chiáº¿u Ä‘áº¿n nÃ³ báº±ng lá»‡nh \ci{ref} hay \ci{eqref} trong gÃ³i \pai{amslatex}.

\begin{example}
\begin{equation} \label{eq:eps}
\epsilon &gt; 0
\end{equation}
Tá»« báº¥t phÆ°Æ¡ng trÃ¬nh (\ref{eq:eps}),
chÃºng ta cÃ³ thá»ƒ suy ra ráº±ng
\ldots Äá»“ng thá»i tá»«
\eqref{eq:eps}
chÃºng ta suy ra \ldots
\end{example}

Báº¡n cáº§n chÃº Ã½ Ä‘áº¿n sá»± khÃ¡c nhau vá» káº¿t quáº£ biÃªn soáº¡n cá»§a cÃ´ng thá»©c trong cháº¿ Ä‘á»™ soáº¡n tháº£o toÃ¡n há»c vÃ&nbsp; trong cháº¿ Ä‘á»™ hiá»ƒn thá»‹ toÃ¡n há»c (\ei{displaymath}) .

\begin{example}
$\lim_{n \to \infty}
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}
= \frac{\pi^2}{6}$
\end{example}
\begin{example}
\begin{displaymath}
\lim_{n \to \infty}
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}
= \frac{\pi^2}{6}
\end{displaymath}
\end{example}
Báº¡n sáº½ tháº¥y ráº±ng cÃ³ nhiá»u sá»± khÃ¡c biá»‡t giá»¯a \emph{cháº¿ Ä‘á»™ soáº¡n tháº£o toÃ¡n há»c} vÃ&nbsp; \emph{cháº¿ Ä‘á»™ soáº¡n tháº£o vÄƒn báº£n}. DÆ°á»›i Ä‘Ã¢y lÃ&nbsp; má»™t sá»‘ thuá»™c tÃ­nh cÆ¡ báº£n cá»§a \emph{mÃ´i trÆ°á»ng toÃ¡n há»c}:

\begin{enumerate}
\item CÃ¡c khoáº£ng tráº¯ng vÃ&nbsp; kÃ½ tá»± xuá»‘ng hÃ&nbsp;ng khÃ´ng cÃ³ Ã½ nghÄ©a quan trá»ng: háº§u háº¿t cÃ¡c khoáº£ng tráº¯ng Ä‘á»u báº¯t nguá»“n tá»« logic cá»§a biá»ƒu thá»©c toÃ¡n há»c hay Ä‘Æ°á»£c xÃ¡c Ä‘á»‹nh thÃ´ng qua cÃ¡c lá»‡nh nhÆ°: \ci{,} , \ci{quad}
hay \ci{qquad}.

\item KhÃ´ng Ä‘Æ°á»£c phÃ©p cÃ³ cÃ¡c hÃ&nbsp;ng tráº¯ng. Má»—i cÃ´ng thá»©c sáº½ náº±m trÃªn má»™t Ä‘oáº¡n vÄƒn.

\item Má»—i kÃ­ tá»± Ä‘á»u Ä‘Æ°á»£c xem lÃ&nbsp; tÃªn cá»§a biáº¿n. Náº¿u báº¡n muá»‘n soáº¡n tháº£o vÄƒn báº£n thÃ´ng thÆ°á»ng bÃªn trong má»™t cÃ´ng thá»©c, báº¡n pháº£i sá»­ dá»¥ng lá»‡nh \verb|\textrm{...}| (xem thÃªm pháº§n \ref{sec:fontsz} á»Ÿ trang \pageref{sec:fontsz}).
\end{enumerate}

\begin{example}
\begin{equation}
\forall x \in \mathbf{R}:
\qquad x^{2} \geq 0
\end{equation}
\end{example}
\begin{example}
\begin{equation}
x^{2} \geq 0\qquad
\textrm{vá»›i má»i }x\in\mathbf{R}
\end{equation}
\end{example}

CÃ¡c nhÃ&nbsp; toÃ¡n há»c thÆ°á»ng Ä‘Ã²i há»i nghiÃªm ngáº·t vá» viá»‡c dÃ¹ng Ä‘Ãºng cÃ¡c kÃ­ hiá»‡u. Do Ä‘Ã³, viá»‡c sá»­ dá»¥ng quy Æ°á»›c vá» viá»‡c `\wi{in
Ä‘áº­m}',\index{in Ä‘áº­m} thÃ´ng qua viá»‡c sá»­ dá»¥ng \ci{mathbb} tá»« gÃ³i \pai{amsfonts} hay \pai{amssymb} lÃ&nbsp; ráº¥t há»¯u Ã­ch.

\begin{example}
\begin{displaymath}
x^{2} \geq 0\qquad \textrm{vá»›i má»i }
x\in\mathbb{R}
\end{displaymath}
\end{example}
% \fi

\section{Gá»™p nhÃ³m cÃ¡c cÃ´ng thá»©c}
Háº§u háº¿t cÃ¡c lá»‡nh trong cháº¿ Ä‘á»™ soáº¡n tháº£o cÃ´ng thá»©c toÃ¡n há»c chá»‰ cÃ³ tÃ¡c dá»¥ng Ä‘á»‘i vá»›i kÃ­ tá»± káº¿ tiáº¿p do Ä‘Ã³ trong trÆ°á»ng há»£p báº¡n muá»‘n nÃ³ cÃ³ tÃ¡c dá»¥ng Ä‘á»‘i vá»›i nhiá»u kÃ­ tá»±, báº¡n cÃ³ thá»ƒ nhÃ³m chÃºng trong dáº¥u ngoáº·c: \verb|{...}|.

\begin{example}
\begin{equation}
a^x+y \neq a^{x+y}
\end{equation}
\end{example}

\section{XÃ¢y dá»±ng khá»‘i cÃ¡c cÃ´ng thá»©c toÃ¡n há»c}
Má»¥c nÃ&nbsp;y sáº½ giá»›i thiá»‡u cÃ¡c cÃ´ng thá»©c quan trá»ng Ä‘Æ°á»£c sá»­ dá»¥ng Ä‘á»ƒ soáº¡n tháº£o cÃ¡c cÃ´ng thá»©c toÃ¡n. HÃ£y tham kháº£o thÃªm má»¥c~\ref{symbols} á»Ÿ trang~\pageref{symbols} Ä‘á»ƒ biáº¿t thÃªm chi tiáº¿t vá» danh má»¥c cÃ¡c lá»‡nh há»— trá»£ soáº¡n tháº£o cÃ´ng thá»©c toÃ¡n há»c.

\textbf{\wi{CÃ¡c chá»¯ cÃ¡i Hy láº¡p}} viáº¿t thÆ°á»ng Ä‘Æ°á»£c nháº­p vÃ&nbsp;o nhÆ° sau:
\verb|\alpha|, \verb|\beta|, \verb|\gamma|, \ldots, cÃ²n cÃ¡c chá»¯ cÃ¡i viáº¿t hoa thÃ¬ Ä‘Æ°á»£c nháº­p nhÆ° sau: \verb|\Gamma|, \verb|\Delta|, \ldots \footnote{KhÃ´ng cÃ³ kÃ­ hiá»‡u Alpha viáº¿t hoa trong \LaTeXe{} bá»Ÿi vÃ¬ nÃ³ trÃ´ng giá»‘ng nhÆ° chá»¯ A á»Ÿ dáº¡ng font roman. Khi viá»‡c Ä‘á»‹nh nghÄ©a cÃ¡c kÃ­ kiá»‡u má»›i hoÃ&nbsp;n táº¥t thÃ¬ má»i viá»‡c sáº½ thay Ä‘á»•i.}

\begin{example}
$\lambda,\xi,\pi,\mu,\Phi,\Omega$
\end{example}
\textbf{Sá»‘ mÅ©} vÃ&nbsp; \textbf{chá»‰ sá»‘} Ä‘Æ°á»£c nháº­p vÃ&nbsp;o báº±ng cÃ¡ch sá»­ dá»¥ng cÃ¡c kÃ­ tá»±: \verb|^|\index{^@\verb"|^"|} vÃ&nbsp; \verb|_|\index{_@\verb"|_"|}.
\begin{example}
$a_{1}$ \qquad $x^{2}$ \qquad
$e^{-\alpha t}$ \qquad
$a^{3}_{ij}$\\
$e^{x^2} \neq {e^x}^2$
\end{example}

Dáº¥u \textbf{\wi{cÄƒn báº­c hai}} Ä‘Æ°á»£c nháº­p vÃ&nbsp;o thÃ´ng qua lá»‡nh \ci{sqrt}. Äá»‘i vá»›i dáº¥u cÄƒn báº­c $n$ thÃ¬ ta cÃ³ thá»ƒ nháº­p
vÃ&nbsp;o nhÆ° sau: \verb|\sqrt[|$n$\verb|]|. KÃ­ch thÆ°á»›c cá»§a dáº¥u cÄƒn sáº½ Ä‘Æ°á»£c xÃ¡c Ä‘á»‹nh bá»Ÿi \LaTeX{}. Trong trÆ°á»ng há»£p báº¡n chá»‰ muá»‘n hiá»ƒn thá»‹ kÃ­ hiá»‡u khai cÄƒn (khÃ´ng cÃ³ Ä‘Æ°á»ng káº» trÃªn Ä‘áº§u), báº¡n cÃ³ thá»ƒ sá»­ dá»¥ng lá»‡nh: \verb|\surd|.
\begin{example}
$\sqrt{x}$ \qquad
$\sqrt{ x^{2}+\sqrt{y} }$
\qquad $\sqrt[3]{2}$\\[3pt]
$\surd[x^2 + y^2]$
\end{example}
Lá»‡nh \ci{overline} vÃ&nbsp; \ci{underline} sáº½ trá»±c tiáº¿p táº¡o ra cÃ¡c \textbf{hÃ&nbsp;ng ngang} phÃ­a trÃªn hay phÃ­a dÆ°á»›i cÃ´ng thá»©c.\index{náº±m ngang!ngoáº·c}
\begin{example}
$\overline{a+b}$
\end{example}
Lá»‡nh \ci{overbrace} vÃ&nbsp; \ci{underbrace} sáº½ táº¡o ra nhá»¯ng \textbf{dáº¥u ngoáº·c} dÃ&nbsp;i náº±m dÆ°á»›i hay náº±m trÃªn biá»ƒu thá»©c toÃ¡n há»c.\index{náº±m ngang!ngoáº·c}
\begin{example}
$\underbrace{ a+b+\cdots+z }_{26}$
\end{example}

\index{toÃ¡n há»c!dáº¥u mÅ©} Äá»ƒ thÃªm cÃ¡c dáº¥u mÅ© vÃ&nbsp;o trong cÃ´ng thá»©c toÃ¡n nhÆ° dáº¥u mÅ©i tÃªn nhá» hay \wi{dáº¥u ngÃ£}, báº¡n cáº§n sá»­ dá»¥ng cÃ¡c lá»‡nh trong báº£ng~\ref{mathacc} á»Ÿ trang \pageref{mathacc}. Äá»ƒ thá»±c hiá»‡n viá»‡c Ä‘Æ°a vÃ&nbsp;o cÃ¡c dáº¥u mÅ© trÃªn nhiá»u kÃ­ tá»±, báº¡n cÃ³ thá»ƒ sá»­ dá»¥ng lá»‡nh sau: \ci{widetilde} vÃ&nbsp; \ci{widehat}. Dáº¥u \verb|'|\index{'@\verb"|'"|} sáº½ xuáº¥t ra dáº¥u pháº©y phÃ­a trÃªn.
% a dash is --
\begin{example}
\begin{displaymath}
y=x^{2}\qquad y'=2x\qquad y''=2
\end{displaymath}
\end{example}

CÃ¡c \textbf{vectors}\index{vectors} cÃ³ thá»ƒ Ä‘Æ°á»£c soáº¡n tháº£o báº±ng cÃ¡ch Ä‘áº·t thÃªm má»™t \wi{dáº¥u mÅ©i tÃªn} nhá» á»Ÿ phÃ­a trÃªn cá»§a biáº¿n. Lá»‡nh \ci{vec} sáº½ Ä‘áº£m nhiá»‡m viá»‡c nÃ&nbsp;y. NgoÃ&nbsp;i ra, lá»‡nh \ci{overrightarrow} vÃ&nbsp; \ci{overleftarrow} sáº½ há»— trá»£ báº¡n soáº¡n tháº£o cÃ¡c vector tá»« má»™t Ä‘iá»ƒm $A$ Ä‘áº¿n Ä‘iá»ƒm $B$.
\begin{example}
\begin{displaymath}
\vec a\quad\overrightarrow{AB}
\end{displaymath}
\end{example}
ThÃ´ng thÆ°á»ng thÃ¬ báº¡n sáº½ khÃ´ng soáº¡n tháº£o má»™t cÃ¡ch trá»±c tiáº¿p dáº¥u cháº¥m thay cho dáº¥u nhÃ¢n. Tuy nhiÃªn, Ä‘Ã´i khi ta cÅ©ng nÃªn viáº¿t vÃ&nbsp;o Ä‘á»ƒ trÃ¡nh lÃ&nbsp;m rá»‘i máº¯t ngÆ°á»i Ä‘á»c. Khi nÃ&nbsp;y, báº¡n nÃªn sá»­ dá»¥ng lá»‡nh \ci{cdot}.

\begin{example}
\begin{displaymath}
v = {\sigma}_1 \cdot {\sigma}_2
    {\tau}_1 \cdot {\tau}_2
\end{displaymath}
\end{example}
TÃªn cá»§a cÃ¡c hÃ&nbsp;m nhÆ° hÃ&nbsp;m log thÆ°á»ng Ä‘Æ°á»£c soáº¡n tháº£o á»Ÿ dáº¡ng font tháº³ng Ä‘á»©ng chá»© khÃ´ng pháº£i dáº¡ng in nghiÃªng nhÆ° Ä‘á»‹nh dáº¡ng cá»§a cÃ¡c biáº¿n. \LaTeX{} cung cáº¥p má»™t sá»‘ lá»‡nh Ä‘á»ƒ soáº¡n tháº£o cÃ¡c hÃ&nbsp;m  phá»• biáº¿n nhÆ°:\index{toÃ¡n há»c!hÃ&nbsp;m}

\begin{tabular}{lllllll}
\ci{arccos} &amp;  \ci{cos}  &amp;  \ci{csc} &amp;  \ci{exp} &amp;  \ci{ker}    &amp; \ci{limsup} &amp; \ci{min} \\
\ci{arcsin} &amp;  \ci{cosh} &amp;  \ci{deg} &amp;  \ci{gcd} &amp;  \ci{lg}     &amp; \ci{ln}     &amp; \ci{Pr}  \\
\ci{arctan} &amp;  \ci{cot}  &amp;  \ci{det} &amp;  \ci{hom} &amp;  \ci{lim}    &amp; \ci{log}    &amp; \ci{sec} \\
\ci{arg}    &amp;  \ci{coth} &amp;  \ci{dim} &amp;  \ci{inf} &amp;  \ci{liminf} &amp; \ci{max}    &amp; \ci{sin} \\
\ci{sinh} &amp; \ci{sup} &amp; \ci{tan} &amp; \ci{tanh}\\
\end{tabular}

\begin{example}
\[\lim_{x \rightarrow 0}
\frac{\sin x}{x}=1\]
\end{example}
Äá»ƒ soáº¡n tháº£o \wi{hÃ&nbsp;m Ä‘á»“ng dÆ°}, ta cÃ³ thá»ƒ sá»­ dá»¥ng hai lá»‡nh \ci{bmod} Ä‘á»ƒ soáº¡n tháº£o toÃ¡n tá»­ nhá»‹ phÃ¢n ``$a \bmod b$'' vÃ&nbsp;
\ci{pmod} Ä‘á»‘i vá»›i cÃ¡c biá»ƒu thá»©c nhÆ° ``$x\equiv a \pmod{b}$''.

\begin{example}
$a\bmod b$\\
$x\equiv a \pmod{b}$
\end{example}
Äá»ƒ soáº¡n tháº£o \textbf{\wi{phÃ¢n sá»‘}}, ta sá»­ dá»¥ng lá»‡nh sau: \ci{frac}\verb|{...}{...}|.

ThÃ´ng thÆ°á»ng thÃ¬ ngÆ°á»i ta thÃ­ch nháº­p vÃ&nbsp;o dáº¡ng $1/2$ bá»Ÿi vÃ¬ nÃ³ sáº½ trÃ´ng Ä‘áº¹p hÆ¡n Ä‘á»‘i vá»›i tÃ&nbsp;i liá»‡u chá»‰ cÃ³ má»™t vÃ&nbsp;i phÃ¢n sá»‘.
\begin{example}
$1\frac{1}{2}$~tiáº¿ng
\begin{displaymath}
\frac{ x^{2} }{ k+1 }\qquad
x^{ \frac{2}{k+1} }\qquad
x^{ 1/2 }
\end{displaymath}
\end{example}

Äá»ƒ soáº¡n tháº£o cÃ¡c há»‡ sá»‘ cá»§a nhá»‹ thá»©c hay cÃ¡c cáº¥u trÃºc tÆ°Æ¡ng tá»±, báº¡n cÃ³ thá»ƒ sá»­ dá»¥ng lá»‡nh \ci{binom} trong gÃ³i \pai{amsmath}.

\begin{example}
\begin{displaymath}
\binom{n}{k}\qquad\mathrm{C}_n^k
\end{displaymath}
\end{example}

Äá»‘i vá»›i cÃ¡c quan há»‡ nhá»‹ phÃ¢n thÃ¬ viá»‡c sá»­ dá»¥ng cÃ¡c kÃ­ hiá»‡u chá»“ng lÃªn nhau tá» ra ráº¥t hiá»‡u quáº£. Lá»‡nh \ci{stackrel} Ä‘áº·t tham sá»‘ thá»© nháº¥t lÃªn trÃªn tham sá»‘ thá»© hai.
\begin{example}
\begin{displaymath}
\int f_N(x) \stackrel{!}{=} 1
\end{displaymath}
\end{example}

Báº¡n cÃ³ thá»ƒ dÃ¹ng lá»‡nh \ci{int} soáº¡n tháº£o \textbf{toÃ¡n tá»­ tÃ­ch phÃ¢n}, lá»‡nh \ci{sum} Ä‘á»ƒ soáº¡n tháº£o \textbf{\wi{toÃ¡n tá»­ tÃ­nh tá»•ng}} vÃ&nbsp; lá»‡nh \ci{prod} Ä‘á»ƒ soáº¡n tháº£o \textbf{\wi{toÃ¡n tá»­ tÃ­nh tÃ­ch}}. Cáº­n trÃªn vÃ&nbsp; cáº­n dÆ°á»›i sáº½ Ä‘Æ°á»£c soáº¡n thÃ´ng qua lá»‡nh~\verb|^| vÃ&nbsp;~\verb|_| tÆ°Æ¡ng tá»± nhÆ° viá»‡c soáº¡n chá»‰ sá»‘ trÃªn/dÆ°á»›i.\index{superscript}\footnote{\Ams-\LaTeX{} má»Ÿ rá»™ng viá»‡c soáº¡n chá»‰ sá»‘ trÃªn nhiá»u hÃ&nbsp;ng.}
\begin{example}
\begin{displaymath}
\sum_{i=1}^{n} \qquad
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \qquad
\prod_\epsilon
\end{displaymath}
\end{example}

%\begin{center}
%\begin{tabular}[!htb]{|c|c|}
%\hline
%KÃ­ hiá»‡u &amp; Lá»‡nh \\
%\hline
%\wi{TÃ­ch phÃ¢n} &amp; \ci{int} \\
%\wi{Tá»•ng} &amp; \ci{sum} \\
%\wi{TÃ­ch} &amp; \ci{prod}\\
%\hline
%\end{tabular}
%\end{center}

\begin{example}
\begin{displaymath}
\sum_{i=1}^{n} \qquad
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \qquad
\prod_\epsilon
\end{displaymath}
\end{example}

GÃ³i \pai{amsmath} cÅ©ng cung cáº¥p hai cÃ´ng cá»¥ Ä‘á»ƒ tÄƒng kháº£ nÄƒng Ä‘iá»u khiá»ƒn viá»‡c nháº­p cÃ¡c biá»ƒu thá»©c cÃ³ há»‡ thá»‘ng chá»‰ sá»‘ phá»©c táº¡p lÃ&nbsp; \ci{substack} vÃ&nbsp; mÃ´i trÆ°á»ng \ei{subarray}.
\begin{example}
\begin{displaymath}
\sum_{\substack{0&lt;i&lt;n \\ 1&lt;j&lt;m}}
   P(i,j) =
\sum_{\begin{subarray}{l} i\in I\\
         1&lt;j&lt;m
      \end{subarray}} Q(i,j)
\end{displaymath}
\end{example}

\medskip

NgoÃ&nbsp;i ra, \TeX{} cÃ²n cung cáº¥p cÃ¡c dáº¡ng kÃ­ hiá»‡u khÃ¡c cho \textbf{\wi{dáº¥u ngoáº·c}} vÃ&nbsp; cÃ¡c \wi{kÃ­ hiá»‡u giá»›i háº¡n} khÃ¡c nhÆ°
lÃ&nbsp;: $[\;\langle\;\|\;\updownarrow$). Dáº¥u ngoáº·c trÃ²n hay ngoáº·c vuÃ´ng cÃ³ thá»ƒ Ä‘Æ°á»£c nháº­p vÃ&nbsp;o vá»›i cÃ¡c phÃ­m thÃ­ch há»£p. Äá»‘i vá»›i dáº¥u ngoáº·c mÃ³c (\{), ta sá»­ dá»¥ng lá»‡nh \verb|\{|. CÃ²n cÃ¡c kÃ­ hiá»‡u giá»›i háº¡n khÃ¡c Ä‘á»u pháº£i sá»­ dá»¥ng lá»‡nh (nhÆ° lÃ&nbsp; ~\verb|\updownarrow|). HÃ£y tham kháº£o thÃªm báº£ng~\ref{tab:delimiters} á»Ÿ trang \pageref{tab:delimiters} Ä‘á»ƒ biáº¿t thÃªm vá» danh sÃ¡ch cÃ¡c kÃ­ hiá»‡u giá»›i háº¡n cÃ³ sáºµn.
\begin{example}
\begin{displaymath}
{a,b,c}\neq\{a,b,c\}
\end{displaymath}
\end{example}

Lá»‡nh \ci{left} vÃ&nbsp; \ci{right} sáº½ tá»± Ä‘á»™ng xÃ¡c Ä‘á»‹nh kÃ­ch thÆ°á»›c cá»§a dáº¥u ngoáº·c sao cho phÃ¹ há»£p vá»›i kÃ­ch thÆ°á»›c cá»§a biá»ƒu thá»©c. LÆ°u Ã½ ráº±ng cÃ¡c lá»‡nh \ci{left} vÃ&nbsp; \ci{right} pháº£i Ä‘i thÃ&nbsp;nh tá»«ng cáº·p (cÃ³ nghÄ©a lÃ&nbsp; sau khi má»Ÿ ngoáº·c thÃ¬ báº¡n pháº£i Ä‘Ã³ng ngoáº·c cho phÃ¹ há»£p). Trong tÃ¬nh huá»‘ng báº¡n khÃ´ng muá»‘n dáº¥u Ä‘Ã³ng ngoáº·c phÃ­a bÃªn pháº£i thÃ¬ báº¡n cÃ³ thá»ƒ dÃ¹ng lá»‡nh \ci{right.} Ä‘á»ƒ Ä‘Ã³ng ngoáº·c nhÆ°ng khÃ´ng hiá»ƒn thá»‹ kÃ­ hiá»‡u Ä‘Ã³ng ngoáº·c.
\begin{example}
\begin{displaymath}
1 + \left( \frac{1}{ 1-x^{2} }
    \right) ^3
\end{displaymath}
\end{example}

Tuy nhiÃªn, trong má»™t sá»‘ tÃ¬nh huá»‘ng soáº¡n tháº£o, báº¡n sáº½ cáº§n pháº£i tá»± xÃ¡c Ä‘á»‹nh kÃ­ch thÆ°á»›c cá»§a cÃ¡c dáº¥u ngoáº·c\index{toÃ¡n há»c!dáº¥u ngoáº·c}. Äiá»u nÃ&nbsp;y Ä‘Æ°á»£c thá»±c hiá»‡n bá»Ÿi cÃ¡c lá»‡nh \ci{big}, \ci{Big}, \ci{bigg} vÃ&nbsp; \ci{Bigg} nhÆ° lÃ&nbsp; má»™t tiá»n tá»‘ cá»§a cÃ¡c lá»‡nh soáº¡n tháº£o dáº¥u ngoáº·c.\footnote{CÃ¡c lá»‡nh nÃ&nbsp;y cÃ³ thá»ƒ hoáº¡t Ä‘á»™ng khÃ´ng nhÆ° dá»± Ä‘inh khi mÃ&nbsp; cÃ¡c lá»‡nh thay Ä‘á»•i kÃ­ch thÆ°á»›c khÃ¡c nhÆ° \texttt{11pt} hay \texttt{12pt} Ä‘Ã£ Ä‘Æ°á»£c gá»i. Trong tÃ¬nh huá»‘ng nÃ&nbsp;y, báº¡n cÃ³ thá»ƒ sá»­ dá»¥ng gÃ³i lá»‡nh \pai{exscale} hay \pai{amsmath} Ä‘á»ƒ kháº¯c phá»¥c.}

\begin{example}
$\Big( (x+1) (x-1) \Big) ^{2}$\\
$\big(\Big(\bigg(\Bigg($\quad
$\big\}\Big\}\bigg\}\Bigg\}$\quad
$\big\|\Big\|\bigg\|\Bigg\|$
\end{example}

Äá»ƒ thÃªm \textbf{\wi{dáº¥u ba cháº¥m}} vÃ&nbsp;o má»™t cÃ´ng thá»©c, báº¡n cÃ³ thá»ƒ sá»­ dá»¥ng nhiá»u lá»‡nh khÃ¡c nhau. Trong Ä‘Ã³, lá»‡nh \ci{ldots} sáº½ xuáº¥t ra cÃ¡c dáº¥u cháº¥m náº±m sÃ¡t phÃ­a dÆ°á»›i cá»§a hÃ&nbsp;ng; lá»‡nh \ci{cdots} sáº½ xuáº¥t chÃºng ra á»Ÿ giá»¯a hÃ&nbsp;ng; lá»‡nh \ci{vdots} sáº½ xuáº¥t chÃºng theo chiá»u dá»c vÃ&nbsp; lá»‡nh \ci{ddots} sáº½ xuáº¥t chÃºng theo hÆ°á»›ng Ä‘Æ°á»ng chÃ©o.\index{ba cháº¥m chÃ©o}\index{hÃ&nbsp;ng ngang!ba cháº¥m}. HÃ£y tham kháº£o thÃªm cÃ¡c vÃ­ dá»¥ trong má»¥c~\ref{sec:vert} Ä‘á»ƒ biáº¿t thÃªm chi tiáº¿t.
\begin{example}
\begin{displaymath}
x_{1},\ldots,x_{n} \qquad
x_{1}+\cdots+x_{n}
\end{displaymath}
\end{example}

\section{CÃ¡c khoáº£ng tráº¯ng trong cÃ´ng thá»©c toÃ¡n}

\index{toÃ¡n há»c!khoáº£ng tráº¯ng} Náº¿u viá»‡c tá»± Ä‘á»™ng sáº¯p xáº¿p cÃ¡c khoáº£ng tráº¯ng trong cÃ´ng thá»©c cá»§a \TeX{} khÃ´ng Ä‘Ã¡p á»©ng Ä‘Ãºng yÃªu cáº§u Ä‘á»‹nh dáº¡ng cá»§a báº¡n, báº¡n cÃ³ thá»ƒ thay Ä‘á»•i chÃºng báº±ng cÃ¡ch thÃªm vÃ&nbsp;o cÃ¡c lá»‡nh xá»­ lÃ½ khoáº£ng tráº¯ng Ä‘áº·c biá»‡t. Báº£ng dÆ°á»›i Ä‘Ã¢y liá»‡t kÃª thÃ´ng tin vá» cÃ¡c lá»‡nh qui Ä‘á»‹nh khoáº£ng tráº¯ng trong cÃ´ng thá»©c toÃ¡n.

\begin{center}
\begin{tabular}[!htbp]{|p{4.5cm}|p{6cm}|}
\hline
Lá»‡nh &amp; KÃ­ch thÆ°á»›c\\
\hline
\ci{,} &amp; $\rightarrow\demowidth{0.166em}\leftarrow$\\
\ci{:} &amp; $\rightarrow\demowidth{0.222em}\leftarrow$\\
\ci{;} &amp; $\rightarrow\demowidth{0.277em}\leftarrow$\\
\verb*.\ . &amp; $\rightarrow\demowidth{1em}\leftarrow$\\
\ci{qquad} &amp; $\rightarrow\demowidth{2em}\leftarrow$\\
\ci{quad} &amp; KÃ­ch thÆ°á»›c sáº½ tÆ°Æ¡ng á»©ng vá»›i chá»¯ M trong
font chá»¯ hiá»‡n táº¡i\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Lá»‡nh \ci{!} sáº½ táº¡o ra khoáº£ng tráº¯ng ráº¥t phÃ¹ há»£p trÆ°á»›c dáº¥u `-' Ä‘á»‘i
vá»›i cÃ¡c sá»‘ Ã¢m.

\begin{example}
\newcommand{\ud}{\mathrm{d}}
\begin{displaymath}
\int\!\!\!\int_{D} g(x,y)
  \, \ud x\, \ud y
\end{displaymath}
thay vÃ¬
\begin{displaymath}
\int\int_{D} g(x,y)\ud x \ud y
\end{displaymath}
\end{example}
LÆ°u Ã½ ráº±ng kÃ­ tá»± `d' trong cÃ´ng  thá»©c liÃªn quan Ä‘áº¿n Ä‘áº¡o hÃ&nbsp;m thÃ¬ Ä‘Æ°á»£c Ä‘á»‹nh dáº¡ng á»Ÿ kiá»ƒu roman.

\AmS-\LaTeX{} cÃ²n cung cáº¥p thÃªm má»™t phÆ°Æ¡ng phÃ¡p khÃ¡c Ä‘á»ƒ tinh chá»‰nh cÃ¡c khoáº£ng cÃ¡ch giá»¯a cÃ¡c kÃ­ hiá»‡u tÃ­ch phÃ¢n lÃ&nbsp; \ci{iint}, \ci{iiint} vÃ&nbsp; \ci{idotsint}. Khi báº¡n sá»­ dá»¥ng gÃ³i \pai{amsmath} thÃ¬ báº¡n cÃ³ thá»ƒ soáº¡n tháº£o nhÆ° sau:
\begin{example}
\newcommand{\ud}{\mathrm{d}}
\begin{displaymath}
\iint_{D} \, \ud x \, \ud y
\end{displaymath}
\end{example}

Báº¡n cÃ³ thá»ƒ tham kháº£o thÃªm tÃ&nbsp;i liá»‡u testmath.tex (Ä‘Æ°á»£c cung cáº¥p chÃºng vá»›i gÃ³i \pai{amsmath} do \AmS-\LaTeX{} cung cáº¥p) hay chÆ°Æ¡ng 8 trong~\companion Ä‘á»ƒ biáº¿t thÃªm chi tiáº¿t.

\section{GiÃ³ng theo cá»™t}\label{sec:vert}
MÃ´i trÆ°á»ng \ei{array} sáº½ cung cáº¥p cho báº¡n kháº£ nÄƒng soáº¡n tháº£o \textbf{cÃ¡c máº£ng}. MÃ´i trÆ°á»ng nÃ&nbsp;y lÃ&nbsp;m viá»‡c tÆ°Æ¡ng tá»± nhÆ° mÃ´i trÆ°á»ng \texttt{báº£ng}. Lá»‡nh \verb|\\| Ä‘Æ°á»£c dÃ¹ng Ä‘á»ƒ ngáº¯t hÃ&nbsp;ng.

\begin{example}
\begin{displaymath}
\mathbf{X} =
\left( \begin{array}{ccc}
x_{11} &amp; x_{12} &amp; \ldots \\
x_{21} &amp; x_{22} &amp; \ldots \\
\vdots &amp; \vdots &amp; \ddots
\end{array} \right)
\end{displaymath}
\end{example}

MÃ´i trÆ°á»ng nÃ&nbsp;y cÅ©ng cÃ³ thá»ƒ Ä‘Æ°á»£c dÃ¹ng Ä‘á»ƒ soáº¡n tháº£o cÃ¡c biá»ƒu thá»©c chá»‰ gá»“m má»™t dáº¥u ngoáº·c lá»›n bÃªn trÃ¡i, khÃ´ng cÃ³ dáº¥u Ä‘Ã³ng ngoáº·c bÃªn pháº£i nhá» vÃ&nbsp;o lá»‡nh \verb|\right.| .

\begin{example}
\begin{displaymath}
y = \left\{ \begin{array}{ll}
 a &amp; \textrm{náº¿u $d&gt;c$}\\
 b+x &amp; \textrm{náº¿u Ä‘i chÆ¡i vÃ&nbsp;o
  buá»•i sÃ¡ng}\\
 l &amp; \textrm{cáº£ ngÃ&nbsp;y}
  \end{array} \right.
\end{displaymath}
\end{example}

CÃ¡c lá»‡nh váº½ hÃ&nbsp;ng ngang, hÃ&nbsp;ng dá»c trong mÃ´i trÆ°á»ng \pai{tabular} cÅ©ng Ä‘Æ°á»£c sá»­ dá»¥ng trong mÃ´i trÆ°á»ng nÃ&nbsp;y.
\begin{example}
\begin{displaymath}
\left(\begin{array}{c|c}
 1 &amp; 2 \\
\hline
3 &amp; 4
\end{array}\right)
\end{displaymath}
\end{example}

Äá»‘i vá»›i cÃ¡c cÃ´ng thá»©c nhiá»u hÃ&nbsp;ng (nhÆ° lÃ&nbsp; \wi{há»‡ phÆ°Æ¡ng trÃ¬nh}), báº¡n cÃ³ thá»ƒ sá»­ dá»¥ng mÃ´i trÆ°á»ng \ei{eqarray} vÃ&nbsp; \verb|eqnarray*| thay cho mÃ´i trÆ°á»ng \ei{equation}. Trong mÃ´i trÆ°á»ng \texttt{eqarray} thÃ¬ má»—i hÃ&nbsp;ng (tÆ°Æ¡ng á»©ng lÃ&nbsp; má»™t phÆ°Æ¡ng trÃ¬nh) Ä‘á»u Ä‘Æ°á»£c Ä‘Ã¡nh sá»‘. Tuy nhiÃªn, mÃ´i trÆ°á»ng \ei{eqarray*} sáº½ khÃ´ng Ä‘Ã¡nh sá»‘ cÃ¡c phÆ°Æ¡ng trÃ¬nh.

MÃ´i trÆ°á»ng \ei{eqnarray} vÃ&nbsp; \ei{eqnarray*} hoáº¡t Ä‘á»™ng tÆ°Æ¡ng tá»± nhÆ° má»™t báº£ng gá»“m 3 cá»™t vá»›i Ä‘á»‹nh dáº¡ng lÃ&nbsp; \verb|{rcl}|, trong Ä‘Ã³, cá»™t á»Ÿ giá»¯a cÃ³ thá»ƒ Ä‘Æ°á»£c dÃ¹ng Ä‘á»ƒ xuáº¥t dáº¥u báº±ng ``=''. Lá»‡nh \verb|\\| cÃ³ tÃ¡c dá»¥ng xuá»‘ng hÃ&nbsp;ng.
\begin{example}
\begin{eqnarray}
f(x) &amp; = &amp; \cos x     \\
f'(x) &amp; = &amp; -\sin x   \\
\int_{0}^{x} f(y)dy &amp;
 = &amp; \sin x
\end{eqnarray}
\end{example}
Náº¿u chÃº Ã½ báº¡n sáº½ tháº¥y ráº±ng khoáº£ng cÃ¡ch cá»§a hai váº¿ vá»›i dáº¥u ``='' lÃ&nbsp; khÃ¡ lá»›n. Ta cÃ³ thá»ƒ giáº£m khoáº£ng cÃ¡ch nÃ&nbsp;y xuá»‘ng vá»›i lá»‡nh
\verb|\setlength\arraycolsep{2pt}|.

\index{cÃ¡c phÆ°Æ¡ng trÃ¬nh dÃ&nbsp;i}\textbf{CÃ¡c phÆ°Æ¡ng trÃ¬nh dÃ&nbsp;i} sáº½ khÃ´ng Ä‘Æ°á»£c tá»± Ä‘á»™ng chia ra lÃ&nbsp;m cÃ¡c Ä‘oáº¡n nhá». NgÆ°á»i soáº¡n tháº£o pháº£i xÃ¡c Ä‘á»‹nh vá»‹ trÃ­ xuá»‘ng hÃ&nbsp;ng vÃ&nbsp; chÃºng pháº£i Ä‘Æ°á»£c thá»¥t vÃ&nbsp;o bao nhiÃªu. DÆ°á»›i Ä‘Ã¢y lÃ&nbsp; hai phÆ°Æ¡ng phÃ¡p Ä‘á»ƒ thá»±c hiá»‡n Ä‘iá»u nÃ&nbsp;y:
\begin{example}
{\setlength\arraycolsep{2pt}
\begin{eqnarray}
\sin x &amp; = &amp; x -\frac{x^{3}}{3!}
     + \frac{x^{5}}{5!}-{}
                    \nonumber \\
 &amp; &amp; {}-\frac{x^{7}}{7!}+{}\cdots
\end{eqnarray}}
\end{example}

\begin{example}
\begin{eqnarray}
\lefteqn{ \cos x = 1
     -\frac{x^{2}}{2!} +{} }
                    \nonumber\\
 &amp; &amp; {}+\frac{x^{4}}{4!}
     -\frac{x^{6}}{6!}+{}\cdots
\end{eqnarray}
\end{example}

\noindent Lá»‡nh \ci{nonumber} yÃªu cáº§u \LaTeX{} khÃ´ng Ä‘Ã¡nh sá»‘ phÆ°Æ¡ng trÃ¬nh.

Vá»›i cÃ¡c phÆ°Æ¡ng phÃ¡p nÃ&nbsp;y, ta cÃ³ thá»ƒ soáº¡n tháº£o cÃ¡c phÆ°Æ¡ng trÃ¬nh Ä‘Æ°á»£c giÃ³ng theo cá»™t. NgoÃ&nbsp;i ra, gÃ³i \pai{amsmath} cÅ©ng cung cáº¥p má»™t táº­p cÃ¡c lá»‡nh hiá»‡u quáº£ Ä‘á»ƒ thá»±c hiá»‡n viá»‡c nÃ&nbsp;y\footnote{HÃ£y xem thÃªm thÃ´ng tin chi tiáº¿t vá» cÃ¡c mÃ´i trÆ°á»ng \textrm{align,  flalign, gather, multiline vÃ&nbsp; split}}.

\section{CÃ¡c khoáº£ng trá»‘ng thay cho pháº§n vÄƒn báº£n}
ChÃºng ta khÃ´ng thá»ƒ tháº¥y pháº§n ná»™i dung lÃ&nbsp; tham sá»‘ cá»§a lá»‡nh \textbf{phantom} tuy nhiÃªn pháº§n ná»™i dung nÃ&nbsp;y váº«n Ä‘Æ°á»£c sáº¯p chá»¯ trong tÃ&nbsp;i liá»‡u. ChÃºng ta cÃ³ thá»ƒ dá»±a vÃ&nbsp;o Ä‘Ã¢y Ä‘á»ƒ cÃ³ Ä‘Æ°á»£c má»™t sá»‘ thá»§ thuáº­t soáº¡n tháº£o ráº¥t thÃº vá»‹.

Khi chÃºng ta soáº¡n tháº£o cÃ¡c chá»‰ sá»‘ trÃªn vÃ&nbsp; dÆ°á»›i vá»›i cÃ¡c lá»‡nh nhÆ° \verb|^| vÃ&nbsp; \verb|_|, chÃºng ta cÃ³ Ä‘Ã£ Ä‘Æ°á»£c káº¿t quáº£ ráº¥t Ä‘áº¹p máº¯t nhÆ°ng Ä‘Ã´i khi chÃºng ta muá»‘n bá»• sung thÃªm má»™t Ã­t Ä‘á»ƒ cÃ³ Ä‘Æ°á»£c káº¿t quáº£ tá»‘t nháº¥t. Lá»‡nh \ci{phantom} lÃ&nbsp; má»™t lá»‡nh ráº¥t hiá»‡u quáº£ trong viá»‡c cáº£i thiá»‡n káº¿t quáº£ trÃ¬nh bÃ&nbsp;y cá»§a cÃ¡c cÃ´ng thá»©c. Lá»‡nh nÃ&nbsp;y cÃ³ chá»©c nÄƒng lÃ&nbsp; dÃ&nbsp;nh ra má»™t sá»‘ khoáº£ng tráº¯ng theo yÃªu cáº§u.

\begin{example}
\begin{displaymath}
{}^{12}_{\phantom{1}6}\textrm{C}
\qquad \textrm{so vá»›i} \qquad
{}^{12}_{6}\textrm{C}
\end{displaymath}
\end{example}

\begin{example}
\begin{displaymath}
\Gamma_{ij}^{\phantom{ij}k} \qquad
\textrm{so vá»›i} \qquad
\Gamma_{ij}^{k}
\end{displaymath}
\end{example}

\section[KÃ­ch thÆ°á»›c cá»§a cÃ¡c font chá»¯]{KÃ­ch thÆ°á»›c cá»§a cÃ¡c font chá»¯ há»— trá»£ soáº¡n tháº£o tÃ&nbsp;i liá»‡u ToÃ¡n há»c}\label{sec:fontsz}
\index{kÃ­ch thÆ°á»›c font chá»¯} Trong cháº¿ Ä‘á»™ soáº¡n tháº£o cÃ´ng thá»©c toÃ¡n há»c, \TeX{} sáº½ tá»± Ä‘á»™ng chá»n kÃ­ch thÆ°á»›c cá»§a font chá»¯ tuá»³ thuá»™c vÃ&nbsp;o ngá»¯ cáº£nh. VÃ­ dá»¥ nhÆ° Ä‘á»‘i vá»›i cÃ¡c chá»‰ sá»‘ trÃªn hay chá»‰ sá»‘ dÆ°á»›i thÃ¬ \LaTeX{} sáº½ tá»± Ä‘á»™ng soáº¡n tháº£o vá»›i kiá»ƒu chá»¯ nhá» hÆ¡n. Khi báº¡n muá»‘n soáº¡n tháº£o má»™t phÆ°Æ¡ng trÃ¬nh á»Ÿ kiá»ƒu chá»¯ roman thÃ¬ báº¡n khÃ´ng nÃªn dÃ¹ng lá»‡nh \verb|\textrm| bá»Ÿi vÃ¬ lá»‡nh nÃ&nbsp;y sáº½ lÃ&nbsp;m cho cÆ¡ cháº¿ thay Ä‘á»•i kÃ­ch thÆ°á»›c font chá»¯ má»™t cÃ¡ch tá»± Ä‘á»™ng cho phÃ¹ há»£p vá»›i ngá»¯ cáº£nh cá»§a \LaTeX{} khÃ´ng lÃ&nbsp;m viá»‡c bá»Ÿi vÃ¬ lÃªnh \verb|textrm| sáº½ táº¡m thá»i chuyá»ƒn mÃ´i trÆ°á»ng toÃ¡n há»c hiá»‡n táº¡i sang mÃ´i trÆ°á»ng soáº¡n tháº£o vÄƒn báº£n. Báº¡n cáº§n lÆ°u Ã½ ráº±ng lá»‡nh \ci{mathrm} sáº½ \emph{chá»‰} lÃ&nbsp;m viá»‡c tá»‘t vá»›i nhá»¯ng pháº§n vÄƒn báº£n ngáº¯n. Lá»‡nh \ci{mathrm} sáº½ khÃ´ng cÃ³ tÃ¡c dá»¥ng Ä‘á»‘i vá»›i cÃ¡c khoáº£ng tráº¯ng vÃ&nbsp; cÃ¡c kÃ­ tá»± cÃ³ dáº¥u.\footnote{GÃ³i \pai{amsmath} cá»§a \AmS-\LaTeX{} cho phÃ©p lá»‡nh \ci{textrm} lÃ&nbsp;m viá»‡c vá»›i vÄƒn báº£n Ä‘Ã£ Ä‘Æ°á»£c thay Ä‘á»•i kÃ­ch thÆ°á»›c.}

\begin{example}
\begin{equation} 2^{\textrm{nd}}
\quad 2^{\mathrm{nd}}
\end{equation}
\end{example}
ÄÃ´i khi báº¡n cáº§n yÃªu cáº§u \LaTeX{} thay Ä‘á»•i kÃ­ch thÆ°á»›c font chá»¯ cho phÃ¹ há»£p. Trong cháº¿ Ä‘á»™ soáº¡n tháº£o tÃ&nbsp;i liá»‡u ToÃ¡n há»c, báº¡n cÃ³ thá»ƒ sá»­ dá»¥ng 4 lá»‡nh sau:
\begin{flushleft}
\ci{displaystyle}~($\displaystyle 123$),
 \ci{textstyle}~($\textstyle 123$),
\ci{scriptstyle}~($\scriptstyle 123$) and
\ci{scriptscriptstyle}~($\scriptscriptstyle 123$).
\end{flushleft}

Viá»‡c thay Ä‘á»•i kiá»ƒu Ä‘á»‹nh dáº¡ng cÅ©ng sáº½ áº£nh hÆ°á»Ÿng Ä‘áº¿n cÃ¡ch hiá»ƒn thá»‹ cÃ¡c kÃ­ hiá»‡u giá»›i háº¡n.
\begin{example}
\begin{displaymath}
\mathop{\mathrm{corr}}(X,Y)=
 \frac{\displaystyle
   \sum_{i=1}^n(x_i-\overline x)
   (y_i-\overline y)}
  {\displaystyle\biggl[
 \sum_{i=1}^n(x_i-\overline x)^2
\sum_{i=1}^n(y_i-\overline y)^2
\biggr]^{1/2}}
\end{displaymath}
\end{example}
\noindent Ä‘Ã¢y lÃ&nbsp; má»™t trong cÃ¡c vÃ­ dá»¥ cáº§n pháº£i sá»­ dá»¥ng cÃ¡c dáº¥u ngoáº·c lá»›n thay cho cÃ¡c dáº¥u ngoáº·c bÃ¬nh thÆ°á»ng vá»›i lá»‡nh
\verb|\left[\right]|.

\section{Äá»‹nh lÃ½, Ä‘á»‹nh luáº­t, \ldots}
Khi soáº¡n tháº£o cÃ¡c tÃ&nbsp;i liá»‡u ToÃ¡n há»c, báº¡n sáº½ cáº§n pháº£i soáº¡n tháº£o cÃ¡c ``bá»• Ä‘á»'', ``Ä‘á»‹nh nghÄ©a'', ``tiÃªn Ä‘á»'' vÃ&nbsp; cÃ¡c cáº¥u trÃºc tÆ°Æ¡ng tá»±. \LaTeX{} sáº½ há»— trá»£ báº¡n vá»›i lá»‡nh sau:
\begin{lscommand}
\ci{newtheorem}\verb|{|\emph{name}\verb|}[|\emph{counter}\verb|]{|%
         \emph{text}\verb|}[|\emph{section}\verb|]|
\end{lscommand}
Tham sá»‘ \emph{name} lÃ&nbsp; má»™t tá»« khoÃ¡ ngáº¯n Ä‘á»ƒ xÃ¡c Ä‘á»‹nh ``Ä‘á»‹nh lÃ½''. Tham sá»‘ \emph{text} sáº½ cho phÃ©p ta xÃ¡c Ä‘á»‹nh tÃªn gá»i cá»§a ``Ä‘á»‹nh lÃ½'' (Ä‘Ã¢y lÃ&nbsp; tÃªn cá»§a Ä‘á»‹nh lÃ½ trong báº£n in).

CÃ¡c tham sá»‘ trong dáº¥u ngoáº·c vuÃ´ng lÃ&nbsp; tuá»³ chá»n. ChÃºng Ä‘Æ°á»£c sá»­ dá»¥ng Ä‘á»ƒ xÃ¡c Ä‘á»‹nh viá»‡c Ä‘Ã¡nh sá»‘ cho ``Ä‘á»‹nh lÃ½''. Tham sá»‘  \emph{counter} sáº½ giÃºp xÃ¡c Ä‘á»‹nh tham sá»‘ \emph{name} cá»§a ``Ä‘á»‹nh lÃ½'' Ä‘Ã£ Ä‘Æ°á»£c khai bÃ¡o. Khi nÃ&nbsp;y ``Ä‘á»‹nh lÃ½'' má»›i sáº½ Ä‘Æ°á»£c Ä‘Ã¡nh sá»‘ theo cÃ¹ng má»™t chuá»—i. Tham sá»‘ \emph{section} cho phÃ©p báº¡n xÃ¡c Ä‘á»‹nh cÃ¡ch Ä‘Ã¡nh sá»‘ ``Ä‘á»‹nh lÃ½''.

Sau khi gá»i lá»‡nh \ci{newtheorem} trong pháº§n tá»±a Ä‘á» cá»§a tÃ&nbsp;i liá»‡u, báº¡n cÃ³ thá»ƒ gá»i tiáº¿p cÃ¡c lá»‡nh sau á»Ÿ trong pháº§n thÃ¢n cá»§a tÃ&nbsp;i liá»‡u:
\begin{code}
\verb|\begin{|\emph{name}\verb|}[|\emph{text}\verb|]|\\
ÄÃ¢y lÃ&nbsp; má»™t Ä‘á»‹nh lÃ½ ráº¥t thÃº vá»‹\\
\verb|\end{|\emph{name}\verb|}|
\end{code}
Pháº§n nÃ&nbsp;y chÃ­nh lÃ&nbsp; pháº§n chi tiáº¿t cá»§a Ä‘á»‹nh lÃ½. DÆ°á»›i Ä‘Ã¢y lÃ&nbsp; má»™t vÃ­ dá»¥
cá»¥ thá»ƒ, nÃ³ sáº½ giÃºp báº¡n hiá»ƒu Ä‘Æ°á»£c rÃµ hÆ¡n vá» mÃ´i trÆ°á»ng Ä‘á»‹nh lÃ½ nÃ&nbsp;y.
\begin{example}
% definitions for the document
% preamble
\newtheorem{law}{Law}
\newtheorem{jury}[law]{Jury}
%in the document
\begin{law} \label{law:box}
Xin chÃ&nbsp;o cÃ¡c báº¡n!!!
\end{law}
\begin{jury}[Thá»© 12]
CÃ³ láº½ tÃ´i Ä‘Ã£ gáº·p báº¡n. HÃ£y tham
kháº£o thÃªm
pháº§n~\ref{law:box}\end{jury}
\begin{law}
ÄÃºng, Ä‘Ãºng, Ä‘Ãºng
\end{law}
\end{example}
Äá»‹nh lÃ½ ``Jury'' sá»­ dá»¥ng chung bá»™ Ä‘áº¿m nhÆ° Ä‘á»‹nh lÃ½ ``Law''. Do Ä‘Ã³,
Ä‘á»‹nh lÃ½ nÃ&nbsp;y sáº½ Ä‘Æ°á»£c Ä‘Ã¡nh sá»‘ theo nhÆ° chuá»—i Ä‘Ã¡nh sá»‘ cá»§a Ä‘á»‹nh lÃ½
trong há»‡ thá»‘ng cÃ¡c Ä‘á»‹nh lÃ½ nhÆ° ``Law''.
\begin{example}
\flushleft
\newtheorem{mur}{Murphy}[section]
\begin{mur}
Náº¿u cÃ³ hai hay nhiá»u
cÃ¡ch hÆ¡n Ä‘á»ƒ lÃ&nbsp;m má»™t
Ä‘iá»u gÃ¬ Ä‘Ã³ vÃ&nbsp; hÆ¡n ná»¯a má»™t
trong cÃ¡c cÃ¡ch nÃ&nbsp;y cÃ³
thá»ƒ gÃ¢y ra cÃ¡c tháº£m hoáº¡
thÃ¬ sáº½ cÃ³ má»™t ngÆ°á»i
nÃ&nbsp;o Ä‘Ã³ sáºµn lÃ²ng lÃ&nbsp;m nÃ³.
\end{mur}
\end{example}
Trong vÃ­ dá»¥ trÃªn, Ä‘á»‹nh lÃ½ ``Murphy'' sáº½ Ä‘Æ°á»£c Ä‘Ã¡nh sá»‘ theo má»¥c hiá»‡n
táº¡i. NgoÃ&nbsp;i cÃ¡ch chá»n tham sá»‘ lÃ&nbsp; \emph{section} nhÆ° trÃªn, ta cÃ³ thá»ƒ
chá»n cÃ¡c tham sá»‘ khÃ¡c nhÆ° \emph{chapter} hay \emph{subsection}.

\section{CÃ¡c kÃ½ hiá»‡u in Ä‘áº­m}
\index{kÃ­ hiá»‡u in Ä‘áº­m} Trong \LaTeX{}, viá»‡c soáº¡n tháº£o cÃ¡c kÃ­ hiá»‡u in Ä‘áº­m lÃ&nbsp; tÆ°Æ¡ng Ä‘á»‘i khÃ³ khÄƒn; cÃ³ láº½ Ä‘Ã¢y lÃ&nbsp; chá»§ Ã½ cá»§a \LaTeX{} bá»Ÿi vÃ¬ nhá»¯ng ngÆ°á»i soáº¡n tháº£o nghiá»‡p dÆ° ráº¥t dá»… láº¡m dá»¥ng chá»©c nÄƒng nÃ&nbsp;y. Lá»‡nh thay Ä‘á»•i font chá»¯ nhÆ° \verb|\mathbf| sáº½ xuáº¥t ra cÃ¡c kÃ­ tá»± Ä‘áº­m; tuy nhiÃªn lá»‡nh nÃ&nbsp;y sáº½ Ä‘á»•i kiá»ƒu font chá»¯ sang dáº¡ng roman trong khi cÃ¡c kÃ­ hiá»‡u toÃ¡n há»c thÆ°á»ng Ä‘Æ°á»£c viáº¿t nghiÃªng. NgoÃ&nbsp;i ra, ta cÃ²n cÃ³ lá»‡nh \ci{boldmath} nhÆ°ng lá»‡nh nÃ&nbsp;y chá»‰ cÃ³ tÃ¡c dá»¥ng \emph{bÃªn ngoÃ&nbsp;i} mÃ´i
trÆ°á»ng toÃ¡n há»c. NÃ³ cÅ©ng cÃ³ tÃ¡c dá»¥ng vá»›i cÃ¡c kÃ­ hiá»‡u.
\begin{example}
\begin{displaymath}
\mu, M \qquad \mathbf{M} \qquad
\mbox{\boldmath $\mu, M$}
\end{displaymath}
\end{example}

\noindent Náº¿u chÃº Ã½ báº¡n sáº½ tháº¥y ráº±ng dáº¥u pháº©y láº¡i trá»Ÿ nÃªn quÃ¡ Ä‘áº­m vÃ&nbsp; Ä‘iá»u nÃ&nbsp;y lÃ&nbsp; khÃ´ng cáº§n thiáº¿t.

GÃ³i \pai{amsbsy} (cÃ³ trong bá»™ \pai{amsmath}) cÅ©ng nhÆ° gÃ³i \pai{bm} trong bá»™ cÃ´ng cá»¥ sáº½ há»— trá»£ viá»‡c Ä‘á»‹nh dáº¡ng nÃ&nbsp;y vá»›i lá»‡nh \ci{boldsymbol}.

\ifx\boldsymbol\undefined\else
\begin{example}
\begin{displaymath}
\mu, M \qquad
\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{M}
\end{displaymath}
\end{example}
\fi

% Local Variables:
% TeX-master: "lshort2e"
% mode: latex
% coding: utf-8
% End:
</pre></body></html>